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同济五版《线性代数》习题解读(五)

1、涉及与正交相关的条件的基本计算题,可作为运算方面的练习。

2、施密特正交化的计算,很重要的基本题,要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆,最好是把正交化的整个过程搞清楚,也就是说:给你一组向量,你要把它们化成正交的,怎么做?可以先考虑简单情形,两个向量怎么正交化?很简单,只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化?先把其中两个正交化,然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推,就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了。

3、判断矩阵是不是正交阵,按定义即可,基本题。

4、5是简单的涉及正交矩阵概念的证明题,从定义出发,都不难得到结论。

6、求特征值和特征向量的基本题型,需要练习纯熟。

7、证明特征值相同,按特征值定义即可,此命题可作为结论用。

8、较难的一道题,把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察,关键在于问题的转化:有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题,然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决,要重点体会解题思路。

9、10、11都是与特征值有关的一些命题,从定义出发不难证明,线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们,把它们理解好。其中10题是一个常用的结论。

12、13是特征值性质的应用,即特征值与矩阵特有的对应关系,比如矩阵作多项式运算,则其特征值也就该多项式规律变化,基本题,也是常见题型。

14、考察相似的概念,仍然是要把握好定义,何为相似?

15、16题涉及到相似对角化,这就要求把相似对角化的条件搞清楚,那么什么样的矩阵可相似对角化?条件是特征向量线性无关,从这点出发就可以解决问题。至于16(1)则是特征值特征向量定义的直接考察。

17、18涉及到求矩阵的乘方,实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的,这里自然是化为对角阵以后计算,18题是应用题形式。

19、20题涉及正交的相似变换矩阵,基本题,计算量较大且容易出错,是值得重视的练习。

21、22、23题则是特征值问题的反问题,实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。值得注意的是:对一般矩阵来说,不同的特征值对应的特征向量是线性无关的;对对称矩阵来说,不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关,还是正交的,这显然是个更有用的结果。

24是一个重要命题,它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是1,而且是对称的,所以必可对角化,故0是其n-1重特征值,至于非零特征值,也不难求出,就是这个列向量转置后生成的数。此题的结论很常用,要重点掌握。

25题涉及求矩阵的多项式运算,不外乎就是乘方运算,与17、18题类同。

26、27题考察二次型的概念,基本题,要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵,反过来也一样。

28、29题考察用正交变换化二次型为标准型,实际上就是一个对角化的问题,但因为是对称矩阵,所以既可正交又可相似对角化。同时要注意二次型的几何意义:是一个二次曲面。曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的,所以对于一个复杂的二次型,若不能直接看出它是什么曲面,可以通过化为主坐标系下的二次型(即标准型)来进行观察。

30、综合性较强的一道题,转化为多元函数的条件极值问题即可。

31、用配方法化二次型的练习,基本题,注意计算不要出错。

32、33都是判断二次型的正定性,对于具体给出的二次型,用顺序主子式的符号即可判断,这个是其中一个充分必要条件。

34、实际给出了正定的另一个充分必要条件,证明过程涉及一个抽象矩阵,故只能从最基本的正定的定义出发,此命题是一个有用的结论,要求掌握。

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